przez ToServeAndProtect 26 Mar 2008, 19:21
KOMBINATORYKA
wariacja bez powtórzeń jest to ciąg k-elementowy, w którym każdej liczbie 1, 2, ..., k odpowiada jeden z n danych przedmiotów. Tych wszystkich rozmieszczeń jest
V(k,n) = n!/(n-k)!
Permutacja jest to [/b]jest to ciąg k-elementowy, w którym każdej liczbie 1, 2, ..., k odpowiada jeden z k danych przedmiotów. Czyli taka wariacja, gdzie k = n, Ustawiamy tylko dane nam k elementów w określonym porządku. Permutacji ciągu jest P(k)=k!
kombinacja natomiast jest to podzbiór k-elementowy zbioru n-elementowego. Oczywiste jest, że jeśli mamy podzbiór k-elementowy, to po ustawieniu go w ciąg (na jeden z k! sposobów), będziemy mieli jedna z wariacji, prawda? Czyli wszystkie wariacje bez powtórzeń z n elementów po k uzyskamy biorąc po kolei wszystkie kombinacje z n po k i wszystkie po kolei (dla każdej kombinacji) permutacje
Zatem liczba kombinacji
(n PO k)= V(k,n)/P(k) = {znany wzór Newtona} n!/(k!*(n-k!))
PRAWDOPODOBIENSTWO
Zdarzenie elementarne to możliwy wynik doświadczenia losowego. Wszystkie takie możliwe wyniki tworzą zbiór zdarzeń elementarnych(oznaczany zwykle Omega, ale ja go nazwę E, żeby byli łatwiej pisać). Może on być zbiorem skończonym, przeliczalnym bądź nieprzeliczalnym.
Prawdopodobieństwo jest to teoretyczna wartość częstości, z jaka uzyskalibyśmy wynik A, powtarzając doświadczenie, w którym możliwe wyniki zawiera zbiór E
Przestrzeń probabilistyczna jest to zbiór zdarzeń elementarnych E w którym każdemu podzbiorowi A zbioru E jest przypisana wartość funkcji P(A). Funkcja prawdopodobieństwa ma następujące własności:
1. P(A)>=0 (jest nieujemne)
2. Jeżeli zdarzenia A, B, C, ... wykluczają się wzajemnie, to P(A+B+C+...) = P(A) + P(B) + P(C) + ...
3. P(E) = 1 (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1).
Wnioski:
1. P(A)<=1
2. P(E-A) = 1 - P(A) (prawdopodobieństwo zdarzenia dopełniającego)
3. P(A lub B) = P(A) + P(B) - P(A i B)
4. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0
5. A jest podzbiorem B --> P(A)<=P(B)
6.
KLASYCZNE OBLICZANIE PRAWDOPODOBIENSTW
W wielu przypadkach (praktycznie wszystkich szkolnych) jest tak, że zdarzenia elementarne są równoprawdopodobne (polecam zadanie sobie zawsze tego pytania, czy tak jest?). Nazywamy to schematem klasycznym. Wówczas możemy obliczać prawdopodobieństwo w sposób następujący:
E - zbiór zdarzeń elementarnych |E| - liczba wszystkich zdarzeń elementarnych
A - zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających naszemu zdarzeniu |A| - liczba zdarzeń elementarnych
To wtedy prawdopodobieństwo zdarzenia A
P(A) = |A|/|E|
Przykład: Rzut dwoma monetami
E - wszystkie możliwe wyniki rzutu para monet: (OO), (OR) (RO), (RR) - są cztery możliwe wyniki o równych prawdopodobieństwach 1/4 gdyby brać tylko trzy możliwości to nie można stosować wzoru! bo nie będą równoprawdopodobne
|E|=4
A - wyrzucimy co najmniej jedna reszkę: (OR), (RO), (RR) |A| = 3
P(A) = 3/4
PRAWDOPODOBIENSTWO GEOMETRYCZNE
Definicja klasyczna nie pozwala obliczać prawdopodobieństwa w przypadku, gdy zbiory A i Ω są nieskończone, jednak jeśli zbiory te mają interpretację geometryczną, zamiast liczebności zbiorów można użyć miary geometrycznej (długość, pole powierzchni, objętość)
Wówczas wylosowanie np. liczby x z odcinka [0,1] takiej, by x<1/3 ma prawdopodobieństwo równe 1/3 (bo 1 to długość wszystkich możliwości, a 1/3 długość odcinka zawierającego punkty sprzyjające naszemu pytaniu)
przykład takiego zadania był tutaj
PRAWDOPODOBIENSTWO WARUNKOWE
Prawdopodobieństwo warunkowe oznacza prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia A, kiedy wiadomo, że zachodzi zdarzenie B. Odpowiada to sytuacji, gdy zdarzenie B już zaszło. Prawdopodobieństwo warunkowe zapisujemy P(A|B) i czytamy "prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B". Prawdopodobieństwo warunkowe jest ilorazem prawdopodobieństwa części wspólnej zdarzeń A, B i prawdopodobieństwa zdarzenia B:
P(A|B) = P(A i B)/P(B)
Może się tak zdarzyć, że informacja o tym, że zaszło zdarzenie B nie wpływa na prawdopodobieństwo A P(A) = P(A|B), czyli wtedy P(A i B) = P(A)*P(B). Takie zdarzenia nazywamy zdarzeniami niezależnymi
Prawidlowo rozwiazane zadania z forum: czy zdarzenia sa niezalezne, tu jest liczenie prawdopodobienstw
PRAWDOPODOBIENSTWO CALKOWITE, TWIERDZENIE BAYESA
Wyobraźmy sobie, że w wyniku pewnego zdarzenia zachodzi jedno z wzajemnie wykluczających się zdarzeń H_1, H_2, ..., H_n. Wówczas, dla każdego zdarzenia A zachodzi:
P(A) = P(A|H_1)*P(H_1) + P(A|H_2)*P(H_2) + ... + P(A|H_n)*P(H_n)
(wzór na prawdopodobieństwo całkowite).
Ilustracją do tego wzoru jest tzw "drzewko prawdopodobieństw". Rozrysowujemy sobie poszczególne mozliwosci (hipotezy), przy galeziach piszemy prawdopodobienstwa, potem nastepne galezie oznaczaja mozliwosci, ktore moga zajsc po
przyklad zadania z forum na prawdopodobienstwo calkowite jest tutaj a tutaj trzy zadania ilustrowane drzewkami prawdopodobienstw.
TW. Bayesa: Zalozenia takie jak przy prawdopodobienstwie calkowitym (H_1, H_2, ... H_n - hipotezy, P(H_i)>0, P(H_1) + P(H_2) + ... + H_n = 1, P(H_i i H_j) = 0 dla i <> j)
Wowczas prawdopodobienstwo hipotezy H_i, jezeli wiemy, ze zaszlo zdarzenie A wyraza sie wzorem:
P(H_i|A) = P(A|H_i)*P(H_i)/Suma(j=1, n)(P(A|H_j)*P(H_j))
| MSI X470 GAMING PLUS | AMD Ryzen 7 2700 | Kingston HyperX DDR4 Fury Black 16GB | PNY GeForce GTX 1080 XLR8 8GB GDDR5X | AOC Q3279VWFD8 31.5" + IIYAMA ProLite E2407HDS 24" |
| SSD Samsung 860 Evo 512GB + SSD Samsung 830 128GB + SSHD Seagate 2TB + WD Caviar Blue 650GB + WD Caviar Green 1TB | Powered by Supremo FM2 Gold 750W |
TSAP czytałem już to ale jest troszku skomplikowane.
?
