Musiałbyś przejrzeć opcje powiadomień
https://pl-pl.facebook.com/help/154884887910599?helpref=faq_content - typy ograniczyć do nowych wiadomości prywatnych (inaczej będzie śmietnik o nowych postach i rożnych komentarzach - a to raczej średnio idzie filtrami pocztowymi ogarnąć)
Starych wiadomości już nie przeniesiesz jak nie masz ich w formie powiadomienia e-mail.
Ta funkcja jest o tyle fajna że pozwala na odpowiadanie bez logowania do aplikacji / witryny facebooka.
Taki powiązany artykuł - można przeczytać http://www.komputerswiat.pl/nowosci/internet/2014/09/pozegnanie-z-facebook-e-mail.aspx